Let's denote the sum of the original list of natural numbers as S and the number of elements in the original list as N.
Given that when 18 is included, the average increases by 2, we can set up the equation:
(S + 18) / (N + 1) = X + 2
Similarly, when 8 is included, the average remains the same:
(S + 18 + 8) / (N + 2) = X
Solving these equations simultaneously, we get:
(S + 18) / (N + 1) = (S + 26) / (N + 2)
Cross-multiplying and simplifying:
(S + 18)(N + 2) = (S + 26)(N + 1)
Expanding and simplifying:
SN + 2S + 18N + 36 = SN + S + 26N + 26
2S + 18N + 36 = S + 26N + 26
Simplifying further:
S = 8N - 10
Since S is the sum of N natural numbers, we can use the formula for the sum of an arithmetic series to express S:
S = (N/2)(2 + (N-1))
Substituting the expression for S from the previous equation:
(N/2)(2 + (N-1)) = 8N - 10
Expanding and simplifying:
N^2 - 7N - 20 = 0
Factoring:
(N - 5)(N + 4) = 0
So, N = 5 or N = -4. Since N represents the number of natural numbers, it must be positive, so N = 5.
Now, substituting N = 5 into the equation for S:
S = 8(5) - 10 = 40 - 10 = 30
The average X is:
X = S / N = 30 / 5 = 6
Therefore, the correct answer is option 1: X=5 N=6.
आइए प्राकृतिक संख्याओं की मूल सूची के योग को S और मूल सूची में तत्वों की संख्या को N के रूप में निरूपित करें।
यह देखते हुए कि जब 18 को शामिल किया जाता है, तो औसत 2 बढ़ जाता है, हम समीकरण स्थापित कर सकते हैं:
(एस + 18) / (एन + 1) = एक्स + 2
इसी प्रकार, जब 8 शामिल किया जाता है, तो औसत वही रहता है:
(एस + 18 + 8) / (एन + 2) = एक्स
इन समीकरणों को एक साथ हल करने पर, हमें प्राप्त होता है:
(एस + 18) / (एन + 1) = (एस + 26) / (एन + 2)
क्रॉस-गुणा और सरलीकरण:
(एस + 18)(एन + 2) = (एस + 26)(एन + 1)
विस्तार और सरलीकरण:
एसएन + 2एस + 18एन + 36 = एसएन + एस + 26एन + 26
2एस + 18एन + 36 = एस + 26एन + 26
आगे सरलीकरण:
एस = 8एन - 10
चूँकि S, N प्राकृतिक संख्याओं का योग है, हम S को व्यक्त करने के लिए अंकगणितीय श्रृंखला के योग के सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:
एस = (एन/2)(2 + (एन-1))
पिछले समीकरण से S के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करना:
(एन/2)(2 + (एन-1)) = 8एन - 10
विस्तार और सरलीकरण:
एन^2 - 7एन - 20 = 0
फैक्टरिंग:
(एन - 5)(एन + 4) = 0
तो, एन = 5 या एन = -4। चूँकि N प्राकृतिक संख्याओं की संख्या को दर्शाता है, यह सकारात्मक होना चाहिए, इसलिए N = 5.
अब, S के समीकरण में N = 5 प्रतिस्थापित करने पर:
एस = 8(5) - 10 = 40 - 10 = 30
औसत X है:
एक्स = एस/एन = 30/5 = 6
इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है: X=5 N=6।
Year-wise PYQs
